5287. Стороны AB
, BC
, AC
треугольника ABC
служат основаниями равнобедренных треугольников ABC_{1}
, BCA_{1}
, CAB_{1}
, не имеющих с данным треугольников общих внутренних точек, причём \angle BCA_{1}=\angle CAB_{1}=\angle BAC_{1}=\angle BAC
. Докажите, что сумма площадей треугольников ABC
и BA_{1}C
равна сумме площадей треугольников ABC_{1}
и AB_{1}C
.
Решение. Обозначим
\angle BCA_{1}=\angle CAB_{1}=\angle BAC_{1}=\angle BAC=\alpha,~AB=c,~BC=a,~AC=b.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,~S_{\triangle BA_{1}C}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a\tg\alpha=\frac{1}{4}a^{2}\tg\alpha,
S_{\triangle AB_{1}C}=\frac{1}{4}b^{2}\tg\alpha,~S_{\triangle AC_{1}B}=\frac{1}{4}c^{2}\tg\alpha.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BA_{1}C}=S_{\triangle AB_{1}C}+S_{\triangle AC_{1}B}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}bc\sin\alpha+\frac{1}{4}a^{2}\tg\alpha=\frac{1}{4}b^{2}\tg\alpha+\frac{1}{4}c^{2}\tg\alpha~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2bc\cos\alpha+a^{2}=b^{2}+c^{2}~\Leftrightarrow~a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ab\cos\alpha.
Последнее равенство представляет собой теорему косинусов для треугольника ABC
.