5288. На сторонах треугольника ABC
с углом 135^{\circ}
при вершине C
вне его построены квадраты ABMN
, BCKL
и CAPQ
. Докажите, что площадь шестиугольника KLMNPQ
равна удвоенной площади квадрата ABMN
.
Указание. Треугольники KCQ
, NAP
и LBM
равновелики треугольнику ABC
.
Решение. Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~AB=c,~BC=a,~AC=b,~S_{KLMNPQ}=S.
Тогда
\angle KCQ=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ},
\angle NAP=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\alpha,
\angle LBM=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\beta=180^{\circ}-\beta,
значит,
S_{\triangle KCQ}=\frac{1}{2}bc\sin45^{\circ}=\frac{1}{2}bc\sin135^{\circ}=S_{\triangle ABC},
S_{\triangle NAP}=\frac{1}{2}ab\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}ab\sin\alpha=S_{\triangle ABC},
S_{\triangle LBM}=\frac{1}{2}ac\sin(180^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}ac\sin\alpha=S_{\triangle ABC}.
По теореме косинусов из треугольника ABC
получаем, что
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos135^{\circ}=b^{2}+c^{2}+2bc\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{KLMNPQ}=4S_{\triangle ABC}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=4\cdot\frac{1}{2}bc\sin135^{\circ}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=
=(b^{2}+c^{2}+bc\sqrt{2})+a^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}=2S_{ABMN}.
Что и требовалось доказать.