5292. На стороне AB
параллелограмма ABCD
отмечена точка M
. Постройте на стороне CD
такую точку N
, чтобы площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых AN
, BN
, CM
и DM
, была наибольшей.
Ответ. \frac{ab}{(a+b)^{2}}
.
Указание. См. задачу 5291.
Решение. Пусть AM=a
, BM=b
, диагонали AN
и DM
трапеции AMND
пересекаются в точке P
, а диагонали BN
и CM
трапеции BMNC
— в точке Q
. Обозначим DN=x
. Тогда
CN=a+b-x,~S_{\triangle MPN}=\frac{ax}{(a+x)^{2}}\leqslant\frac{1}{4}S_{AMND},~
S_{\triangle MQN}=\frac{b(a+b-x)}{(a+2b-x)^{2}}\leqslant\frac{1}{4}S_{BMNC}.
(см. задачу 5291). Значит,
S_{MPBQ}=S_{\triangle MPN}+S_{\triangle MQN}\leqslant\frac{1}{4}S_{AMND}+\frac{1}{4}S_{BMNC}=
=\frac{1}{4}(S_{AMND}+S_{BMNC})=\frac{1}{4}S_{ABCD},
причём равенство достигается в случае, когда a=x
(тогда и a+b-x=b
), т. е. когда MN\parallel AD
.