5297. Найдите угол при вершине A
и сторону BC
треугольника ABC
, если известно, что AB=5
, AC=3
, AI=1
, где I
— центр окружности, вписанной в треугольник.
Ответ. \angle BAC=120^{\circ}
, BC=7
.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром O
касается сторон AC
, AB
и BC
в точках K
, L
и M
соответственно. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle KAO=\angle LAO=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника KAO
находим, что
AK=OA\cos\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\alpha}{2},
Тогда
AL=AK=\cos\frac{\alpha}{2},~CM=CK=AC-AK=3-\cos\frac{\alpha}{2},~
BM=BL=AB-AL=5-\cos\frac{\alpha}{2},~
значит,
BC=CM+BM=3-\cos\frac{\alpha}{2}+5-\cos\frac{\alpha}{2}=8-2\cos\frac{\alpha}{2}.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha,~
\left(8-2\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=25+9-30\cos\alpha,
64-32\cos\frac{\alpha}{2}+4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=34-30\left(2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1\right),
\cos\frac{\alpha}{2}\left(2\cos\frac{\alpha}{2}-1\right)=0,
а так как \cos\frac{\alpha}{2}\ne0
, то \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
. Следовательно, \frac{\alpha}{2}=60^{\circ}
, \alpha=120^{\circ}
. Тогда
BC=8-2\cos\frac{\alpha}{2}=8-2\cdot\frac{1}{2}=7.