5298. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой при продолжении пересекаются под углом \alpha
. Основания трапеции равны a
и b
(a\gt b)
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{ab}{a-b}\tg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Через вершину D
проведите прямую, параллельную боковой стороне BC
. Пусть эта прямая пересекает основание AB
в точке F
. Примените к треугольнику ADF
формулу из задачи 2898.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AB=a
и BC=b
, r
— радиус её вписанной окружности, M
— точка пересечения прямых AD
и BC
. Обозначим AD=x
, BC=y
. Поскольку трапеция описанная x+y=a+b
.
Через вершину D
проведём прямую, параллельную боковой стороне BC
. Пусть эта прямая пересекает основание AB
в точке F
. Тогда
\angle ADF=\angle AMB=\alpha,~AF=AB-BF=AB-CD=a-b,~DF=BC=y.
Пусть высота треугольника ADF
, проведённая из вершины D
, равна h
(высота трапеции, h=2r
), а площадь треугольника ADF
равна S
. Тогда (см. задачу 2898)
(a-b)^{2}=(x+y)^{2}-4S\ctg\frac{\alpha}{2}=(a+b)^{2}-4\cdot\frac{1}{2}(a-b)h\ctg\frac{\alpha}{2}=
=(a+b)^{2}-4(a-b)r\ctg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
r=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4(a-b)\ctg\frac{\alpha}{2}}=\frac{ab}{a-b}\tg\frac{\alpha}{2}.