5302. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что AB=3
, BC=5
, CD=DA=7
, BD=8
. Найдите диагональ AC
и площадь четырёхугольника.
Ответ. AC=7
, S_{ABCD}=16\sqrt{3}
.
Указание. Примените теорему косинусов: сначала к треугольникам ABD
и BDC
, затем — к треугольникам ABD
и BDC
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
, \angle BCD=\gamma
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и BDC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}=\frac{9+49-64}{2\cdot3\cdot7}=-\frac{1}{7},
\cos\gamma=\frac{CB^{2}+CD^{2}-BD^{2}}{2CB\cdot CD}=\frac{25+49-64}{2\cdot5\cdot7}=\frac{1}{7},
а так как \cos\gamma=-\cos\alpha
, то \alpha+\gamma=180^{\circ}
. Следовательно, около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность.
Обозначим \angle ABC=\beta
. По свойству вписанного четырёхугольника \angle ADC=180^{\circ}-\beta
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и BDC
находим, что
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\beta=9+25-2\cdot3\cdot5=34-30\cos\beta,
AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos(180^{\circ}-\beta)=49+49+2\cdot7\cdot7=98+98\cos\beta.
Из равенства
34-30\cos\beta=98+98\cos\beta
находим, что \cos\beta=-\frac{1}{2}
, \angle\beta=120^{\circ}
. Значит,
AC^{2}=34-30\cos\beta=34+15=49,~AC=7.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta+\frac{1}{2}AD\cdot DC\sin(180^{\circ}-\beta)=
=\frac{1}{2}(3\cdot5+7\cdot7)\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot64\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}.