5303. Найдите длину отрезка MN
, соединяющего середины сторон AB
и CD
четырёхугольника ABCD
, если AD=a
, BC=b
и угол между векторами \overrightarrow{AD}
и \overrightarrow{BC}
равен \varphi
. Вычислите MN
при a=3
, b=5
и \varphi=60^{\circ}
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\varphi}
, \frac{7}{2}
.
Указание. \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}).
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Обозначим \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}
. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),~MN^{2}=\overrightarrow{MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=
=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2})=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+2ab\cos\varphi).
Следовательно,
MN=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\varphi}.
Если a=3
, b=5
и \varphi=60^{\circ}
, то
MN=\frac{1}{2}\sqrt{9+25+2\cdot3\cdot5\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{7}{2}.