5305. В сектор OPQ
с углом, меньшим 180^{\circ}
, вписан квадрат ABCD
. Вершины A
и B
расположены на дуге сектора, а вершины C
и D
— на его радиусах. Найдите угол POQ
, если точки A
и B
делят дугу PQ
на три равные части.
Ответ. 135^{\circ}
Указание. Составьте тригонометрическое уравнение относительно искомого угла.
Решение. Положим \angle AOP=\angle AOB=\angle BOQ=6\alpha
, AB=BC=2a
.
Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Тогда OM\perp AB
. Из прямоугольных треугольников OMB
и ONC
находим, что
OM=MB\ctg\angle BOM=a\ctg\alpha,~ON=NC\ctg\angle MOQ=a\ctg3\alpha,
а так как MN=AD=2a
и OM=ON+MN
, то a\ctg\alpha=a\ctg3\alpha+2a
, или
\ctg\alpha-\ctg3\alpha=2,~\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha\sin3\alpha}=2,~
\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha\sin3\alpha}=2,~\cos\alpha=\sin3\alpha,~\sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)=\sin3\alpha.
Из условия задачи следует, что 0^{\circ}\lt\alpha\lt\frac{1}{6}\cdot180^{\circ}=30^{\circ}
, поэтому 90^{\circ}\lt90^{\circ}+\alpha\lt120^{\circ}
и 0^{\circ}\lt3\alpha\lt90^{\circ}
. Значит, равенство \sin\left(90^{\circ}+\alpha\right)=\sin3\alpha
возможно только в случае, когда 90^{\circ}+\alpha=180^{\circ}-3\alpha
. Отсюда находим, что \alpha=22{,}5^{\circ}
. Следовательно, \angle POQ=6\alpha=135^{\circ}
.