5308. Диагональ разбивает трапецию на два подобных треугольника. Угол между этой диагональю и основанием равен 30^{\circ}
, основания трапеции равны 1 и 3. Найдите боковые стороны и углы трапеции.
Ответ. 1, \sqrt{3}
, 30^{\circ}
, 60^{\circ}
, 150^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Указание. Докажите, что \angle ABC=\angle ACD
.
Решение. Пусть ABCD
трапеция с основаниями AD=3
, BC=1
. Прямые AD
и BC
параллельны, поэтому \angle ACB=\angle CAD
. Предположим, что \angle BAC=\angle ACD
. Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми AB
, CD
и секущей AC
, равны, поэтому AB\parallel CD
, и AB\parallel CD
, что невозможно, так как тогда ABCD
— параллелограмм. Следовательно, \angle ABC=\angle ACD
.
Треугольник ABC
подобен треугольнику DCA
, поэтому \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}
. Значит,
AC^{2}=BC\cdot AD=1\cdot3=3,~AC=\sqrt{3}.
По теореме косинусов
CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cos30^{\circ}=
=3+9-2\cdot\sqrt{3}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12-9=3,~CD=\sqrt{3}=AC.
Следовательно,
\angle ADC=\angle CAD=30^{\circ},~\angle ABC=\angle ACD=120^{\circ},~
\angle BAD=60^{\circ},~\angle BCD=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Коэффициент подобия треугольников ABC
и DCA
равен \frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}
, поэтому AB=\frac{\sqrt{3}}{3}CD=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=1
.