5309. Внутри угла AOB
дана точка M
, расстояния от которой до сторон угла равны a
и b
. Найдите углы AOM
и BOM
, если \angle AOB=60^{\circ}
.
Ответ. \arctg\frac{b\sqrt{3}}{2a+b}
, \arctg\frac{a\sqrt{3}}{2b+a}
.
Указание. Продолжите один из перпендикуляров, опущенных из точки M
на стороны угла, до пересечения со второй стороной угла.
Решение. Будем считать, что A
и B
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на стороны угла. Тогда MA=a
и MB=b
.
Продолжим BM
до пересечения с лучом OA
в точке N
. Из прямоугольных треугольников MAN
, OBN
и MOB
находим, что
MN=\frac{AM}{\sin\angle ONB}=\frac{a}{\sin30^{\circ}}=2a,
OB=NB\ctg\angle BON=(MN+MB)\ctg60^{\circ}=\frac{2a+b}{\sqrt{3}},
\tg\angle BOM=\frac{MB}{OB}=\frac{b}{\frac{2a+b}{\sqrt{3}}}=\arctg\frac{b\sqrt{3}}{2a+b}.
Аналогично находим, что \angle AOM=\arctg\frac{a\sqrt{3}}{2b+a}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 63, с. 14