5310. Выразите площадь прямоугольного треугольника через его высоту h
, проведённую к гипотенузе, и острый угол \alpha
.
Ответ. \frac{h^{2}}{\sin2\alpha}
.
Решение. Пусть CH=h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла при вершине C
, \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BCH=\angle BAC=\alpha
. Из прямоугольных треугольников AHC
и BHC
находим, что
AC=\frac{h}{\sin\alpha},~BC=\frac{h}{\cos\alpha}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{h}{\sin\alpha}\cdot\frac{h}{\cos\alpha}=\frac{h^{2}}{\sin2\alpha}.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 59, с. 14