5314. Докажите, что сумма расстояний от любой точки M
, взятой внутри произвольного треугольника ABC
, до прямых BC
, AC
и AB
заключена между наименьшей и наибольшей высотами.
Указание. Примените метод площадей.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, площадь треугольника ABC
равна S
, высоты, проведённые из вершин A
, B
, C
, равны h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
соответственно, расстояния от точки M
, расположенной внутри треугольника, до прямых BC
, AC
и AB
равны m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
, а площади треугольников MBC
, MAC
, MAB
равны S_{a}
, S_{b}
, S_{c}
соответственно. Предположим, что h_{a}\leqslant h_{b}\leqslant h_{c}
. Тогда, так как ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=2S
, то a\geqslant b\geqslant c
, поэтому
m_{a}+m_{b}+m_{c}=\frac{2S_{a}}{a}+\frac{2S_{b}}{b}+\frac{2S_{c}}{c}\leqslant
\leqslant\frac{2S_{a}}{c}+\frac{2S_{b}}{c}+\frac{2S_{c}}{c}=\frac{2(S_{a}+S_{b}+S_{c})}{c}=\frac{2S}{c}=h_{c},
m_{a}+m_{b}+m_{c}=\frac{2S_{a}}{a}+\frac{2S_{b}}{b}+\frac{2S_{c}}{c}\geqslant
\geqslant\frac{2S_{a}}{a}+\frac{2S_{b}}{a}+\frac{2S_{c}}{a}=\frac{2(S_{a}+S_{b}+S_{c})}{a}=\frac{2S}{a}=h_{a}.
Что и требовалось доказать.