5315. Из точки C
окружности проведён перпендикуляр CM
к диаметру AB
. При каком положении точки C
на окружности сумма AM+CM
имеет наибольшее значение?
Ответ. \angle BAC=\frac{\pi}{8}
.
Решение. Точка C
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.
Пусть радиус окружности равен R
. Обозначим, \angle BAC=\alpha
. Тогда
AC=AB\cos\alpha=2R\cos\alpha,~AM=AC\cos\alpha=2R\cos\alpha\cos\alpha=2R\cos^{2}\alpha,~
CM=AC\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha,
AM+CM=2R\cos^{2}\alpha+2R\cos\alpha\sin\alpha=R(2\cos^{2}\alpha+2\cos\alpha\sin\alpha)=
=R(1+\cos2\alpha+\sin2\alpha)\leqslant R(1+\sqrt{2}),
причём равенство достигается при 2x=\frac{\pi}{4}
, т. е. при x=\frac{\pi}{8}
.