5316. Докажите, что все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют арифметическую прогрессию, подобны.
Решение. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a
и b
, а гипотенуза равна c
. Предположим, что a\leqslant b
. Тогда числа a
, b
и c
образуют к таком порядке арифметическую прогрессию. Значит, b=\frac{a+c}{2}
.
По теореме Пифагора c^{2}=a^{2}+b^{2}
, или
c^{2}=a^{2}+\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2},~4c^{2}=4a^{2}+a^{2}+2ac+c^{2},~
5a^{2}+2ac-3c^{2}=0,~5\left(\frac{a}{c}\right)^{2}+2\left(\frac{a}{c}\right)-3=0,~
\frac{a}{c}=\frac{3}{5},~a=\frac{3}{5}c.
Значит,
b=\frac{a+c}{2}=\frac{\frac{3}{5}c+c}{2}=\frac{4}{5}c.
Поэтому, если стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то они пропорциональны числам 3, 4 и 5. Следовательно, все такие треугольники подобны треугольнику со сторонами 3, 4 и 5.