5317. Отношение периметра параллелограмма ABCD
к его диагонали AC
равно 2p
. Угол CAD
вдвое больше угла BAC
. Найдите отношение сторон параллелограмма.
Ответ. \frac{p+1}{p}
, p\gt1
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Обозначим AB=a
, AD=b
, AC=d
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle CAD=2\alpha,~\angle ADC=180^{\circ}-3\alpha.
Применяя теорему синусов к треугольнику ADC
, получаем, что
\frac{a}{d}=\frac{\sin2\alpha}{\sin(180^{\circ}-3\alpha)}=\frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha},~\frac{b}{d}=\frac{\sin\alpha}{\sin3\alpha},
а так как по условию
\frac{2a+2b}{d}=2\left(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}\right)=2p,
то
\frac{\sin2\alpha}{\sin3\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\sin3\alpha}=\frac{\sin2\alpha+\sin\alpha}{\sin3\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin(\alpha+2\alpha)}=
=\frac{\sin\alpha(2\cos\alpha+1)}{\sin\alpha(\cos2\alpha+2\cos^{2}\alpha)}=\frac{2\cos\alpha+1}{4\cos^{2}\alpha-1}=\frac{1}{2\cos\alpha-1}=p.
Отсюда находим, что \cos\alpha=\frac{p+1}{2p}
. Следовательно,
\frac{AB}{AD}=\frac{a}{b}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha=\frac{p+1}{p}.
Заметим, что задача имеет решение, если \cos\alpha=\frac{p+1}{2p}\lt1
, т. е. при p\gt1
.