5319. Найдите на гипотенузе данного прямоугольного треугольника точку, для которой расстояние между её проекциями на катеты наименьшее.
Ответ. Расстояния от искомой точки M
до вершин острых углов треугольника равны \frac{b^{2}}{c}
и \frac{a^{2}}{c}
, где a
и b
— катеты, c
— гипотенуза.
Решение. Пусть BC=a
и AC=b
— катеты прямоугольного треугольника, AB=c
— гипотенуза, M
— точка на гипотенузе, P
и Q
— её проекции на катеты BC
и AC
соответственно. Обозначим MA=x
.
Из подобия треугольников AMQ
и ABC
находим, что
MQ=\frac{AM}{AB}\cdot BC=\frac{ax}{c}.
Аналогично MP=\frac{b(c-x)}{c}
.
Из прямоугольного треугольника PMQ
получаем, что
PQ^{2}=MQ^{2}+MP^{2}=\left(\frac{ax}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b(c-x)}{c}\right)^{2}=
=\frac{1}{c^{2}}((a^{2}+b^{2})x^{2}-2b^{2}cx+b^{2}c^{2}).
Наименьшее значение полученный квадратный трёхчлен принимает при
x=\frac{b^{2}c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{b^{2}c}{c^{2}}=\frac{b^{2}}{c}.
В этом случае PQ
минимально, а расстояния от точки M
до вершин острых углов треугольника равны \frac{b^{2}}{c}
и \frac{a^{2}}{c}
.