5331. В данный квадрат вписана трапеция так, что её основания параллельны диагонали квадрата. При каком условии площадь трапеции будет наибольшей?
Ответ. Диагонали трапеции параллельны сторонам квадрата.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
, N
трапеции KLMN
с основаниями KL
и MN
лежат на сторонах соответственно AD
, AB
, BC
, CD
квадрата ABCD
со стороной a
, причём KL\parallel BD
; P
и Q
— точки пересечения диагонали AC
с основаниями соответственно KL
и MN
трапеции.
Трапеции равнобедренная, так как она симметрична относительно прямой AC
. Обозначим AL=AK=x
, CN=CM=y
. Тогда
KL=x\sqrt{2},~AP=\frac{x\sqrt{2}}{2},~MN=y\sqrt{2},~CQ=\frac{y\sqrt{2}}{2},~
PQ=AC-AP-CQ=a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}-\frac{y\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(2a-(x+y)),
S_{KLMN}=\frac{KL+MN}{2}\cdot PQ=\frac{x\sqrt{2}+y\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(2a-(x+y))=
=\frac{1}{2}(x+y)(2-(x+y))\leqslant\frac{1}{2}\left(\frac{x+y+2a-(x+y)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}a^{2},
причём равенство достигается в случае, когда x+y=2a-(x+y)
, т. е. при x+y=a
. Тогда BL=a-x=y=CN
, следовательно, LN\parallel AD
. Аналогично KM\parallel AB
.