5332. Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырёхугольника, не больше полусуммы двух других его сторон.
Указание. На продолжении отрезка, соединяющего вершину A
четырёхугольника ABCD
с серединой N
стороны CD
, отложите отрезок NE
, равный AN
, и примените неравенство треугольника к треугольнику BCE
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
. На продолжении отрезка AN
за точку N
отложим отрезок NE
, равный AN
. Треугольники CNE
и DNA
равны по двум сторонами и углу между ними, поэтому CE=AD
. Отрезок MN
— средняя линия треугольника ABE
, поэтому BE=2MN
.
Если точка C
лежит на отрезкеBE
, то
2MN=BE=BC+CE=BC+AD.
Следовательно, MN=\frac{BC+AD}{2}
. В этом случае BC\parallel AD
.
Если точка C
не лежит на отрезке BE
, то, применяя неравенство треугольника к треугольнику BCE
, получим, что
2MN=BE\lt BC+CE=BC+AD.
Следовательно, MN=\frac{BC+AD}{2}
.