5334. Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, разбивают противоположную сторону на три равных отрезка. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.
Ответ. 2 и 12 или 5 и 15.
Указание. Возможны два случая.
Решение. Пусть биссектрисы углов при вершинах A
и D
параллелограмма ABCD
пересекают сторону BC
в точках M
и N
соответственно. Тогда \angle AMB=\angle BAM=\angle DAM
, значит, треугольник ABM
равнобедренный. Аналогично CD=CN
, значит, треугольник CDN
также равнобедренный.
Если отрезки AM
и CN
пересекаются (рис. 1), то BN=NM=MC
. Обозначим BN=NM=MC=x
. Тогда AB=BM=2x
. Из условия задачи следует, что
2AB+2BC=4x+2\cdot3x=10x=40.
Отсюда находим, что x=4
. Следовательно,
AB=CD=2x=8,~BC=AD=3x=12.
Если отрезки AM
и CN
не пересекаются (рис. 2), то BM=MN=NC
. Обозначим BM=MN=NC=y
. Тогда AB=BM=y
. Из уравнения 2y+6y=40
находим, что y=5
. Следовательно,
AB=CD=y=5,~BC=AD=3y=15.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 3, с. 7