5336. Дан квадрат ABCD
со стороной a
. Дуги BD
и AC
окружностей с центрами A
и B
пересекаются в точке M
. Найдите радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник BCM
.
Ответ. \frac{a}{6}
.
Указание. См. задачу 365.
Решение. Пусть окружность с центром O
и радиусом r
, вписанная в криволинейный треугольник BCM
, касается дуги AC
в точке L
, а стороны BC
квадрата в точке N
.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому BO=BL-OL=a-r
. Отрезок BN
общей касательной двух касающихся окружностей с центрами A
и O
равен 2\sqrt{AB\cdot ON}=2\sqrt{ar}
(см. задачу 365).
Рассмотрим прямоугольный треугольник BON
со сторонами ON=r
, BO=a-r
и BN=2\sqrt{ar}
. По теореме Пифагора ON^{2}+BN^{2}=BO^{2}
, или r^{2}+4ar=(a-r)^{2}
. Отсюда находим, что r=\frac{a}{6}
.