5341. Какое наибольшее значение может принимать радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
, если AB=AD=a
и BC=CD=b
?
Ответ. \frac{ab}{a+b}
.
Решение. Треугольники ABC
и ADC
равны по трём сторонам. Пусть AC=x
. По формуле Герона
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2\sqrt{\frac{a+b+x}{2}\cdot\frac{a+b-x}{2}\cdot\frac{a+x-b}{2}\cdot\frac{b+x-a}{2}}=
=\frac{1}{2}\sqrt{((a+b)^{2}-x^{2}){2}(x^{2}-(a-b)^{2})}.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
. Тогда
r=\frac{S_{ABCD}}{a+b}=\frac{1}{2(a+b)}\sqrt{((a+b)^{2}-x^{2})(x^{2}-(a-b)^{2})}\leqslant
\leqslant\frac{1}{2(a+b)}\cdot\frac{(a+b)^{2}-x^{2}+x^{2}-(a-b)^{2}}{2}=\frac{4ab}{4(a+b)}=\frac{ab}{a+b},
причём равенство достигается в случае, когда (a+b)^{2}-x^{2}=x^{2}-(a-b)^{2}
, т. е. при x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
. Тогда \angle ABC=90^{\circ}
. Следовательно, из всех таких четырёхугольников наибольшую площадь имеет вписанный четырёхугольник, углы которого при вершинах B
и D
прямые.