5342. В окружность радиуса R
вписана трапеция с основаниями a
и b
. Найдите площадь трапеции, если R=13
, a=24
и b=10
.
Ответ. 289 или 119.
Указание. Центр окружности лежит либо внутри трапеции, либо вне её.
Решение. Пусть трапеция с основаниями BC=10
и AD=24
вписана в окружность с центром O
радиуса R=13
. Опустим перпендикуляры OP
и OQ
из центра окружности на основания BC
и AD
соответственно. Тогда P
и Q
— середины этих оснований, а так как BC\parallel AD
, то точки O
, P
и Q
лежат на одной прямой.
По теореме Пифагора
OP=\sqrt{OB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,
OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5.
Либо точка O
лежит на отрезке PQ
, либо вне его. В первом случае PQ=OP+OQ=12+5=17
. Во втором — PQ=|OP-OQ|=|12-5|=7
. Значит, высота трапеции равна либо 17, либо 7. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot PQ=\frac{10+24}{2}\cdot17=289
или
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot PQ=\frac{10+24}{2}\cdot7=119.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 235, с. 38