5346. Параллельные хорды AB
и CD
окружности равны 2a
и 2b
, а расстояние между ними равно d
. Докажите, что центр окружности лежит внутри трапеции ABCD
тогда и только тогда, когда |a^{2}-b^{2}|\lt d^{2}
.
Указание. Центр окружности, описанной около треугольника BCD
, лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда угол CBD
острый, т. е. когда \cos\angle CBD\gt0
.
Решение. Проведём диагональ BD
и высоту BH
трапеции ABCD
. Пусть a\lt b
. Тогда
CH=\frac{CD-AB}{2}=\frac{2b-2a}{2}=b-a,
DH=\frac{CD+AB}{2}=\frac{2b+2a}{2}=b+a,
BD^{2}=DH^{2}+BH^{2}=(b+a)^{2}+d^{2},~
BC^{2}=CH^{2}+BH^{2}=(b-a)^{2}+d^{2},
\cos\angle CBD=\frac{BD^{2}+BC^{2}-CD^{2}}{2BD\cdot BC}=
=\frac{(b+a)^{2}+d^{2}+(b-a)^{2}+d^{2}-4b^{2}}{2BD\cdot BC}=\frac{a^{2}-b^{2}+d^{2}}{BD\cdot BC}.
Окружность, описанная около трапеции ABCD
, описана около треугольника BCD
. Центр O
этой окружности лежит внутри треугольника BCD
тогда и только тогда, когда угол CBD
острый, т. е. когда \cos\angle CBD=\frac{a^{2}-b^{2}+d^{2}}{BD\cdot BC}\gt0
. Последнее неравенство равносильно тому, что b^{2}-a^{2}\lt d^{2}
.
Если a\gt b
, то аналогично a^{2}-b^{2}\lt d^{2}
. Следовательно, центр окружности лежит внутри трапеции ABCD
тогда и только тогда, когда |a^{2}-b^{2}|\lt d^{2}
.