5349. Из всех секторов данного периметра 2p
найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
Ответ. Сектор, центральный угол которого равен 2 радианам.
Решение. Пусть S
— площадь сектора, радиус которого равен R
, а центральный угол равен \alpha
. Из условия задачи следует, что 2R+\alpha R=2p
. Поэтому
\alpha=\frac{2p-2R}{R}=\frac{2(p-R)}{R}.
Тогда
S=\frac{1}{2}R^{2}\alpha=\frac{1}{2}R^{2}\cdot\frac{2(p-R)}{R}=R(p-R)\leqslant\left(\frac{R+(p-R)}{2}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{4},
причём равенство достигается в случае, когда R=p-R
, т. е. при R=\frac{p}{2}
. Тогда
\alpha=\frac{2(p-R)}{R}=\frac{2\left(p-\frac{p}{2}\right)}{\frac{p}{2}}=2.