5351. Через вершину A
параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая прямые CD
, BC
и BD
в точках M
, N
и P
соответственно. Докажите, что
\frac{1}{AP}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}.
Решение. Обозначим BN=x
, CN=y
. Тогда
\frac{AP}{AN}=\frac{x+y}{2x+y},~\frac{AM}{AN}=\frac{x+y}{x},
поэтому
\frac{1}{AP}=\frac{2x+y}{x+y}\cdot\frac{1}{AN},~\frac{1}{AM}=\frac{x}{x+y}\cdot\frac{1}{AN}.
Вычитая второе равенство из первого, получим, что
\frac{1}{AP}-\frac{1}{AM}=\frac{2x+y}{x+y}\cdot\frac{1}{AN}-\frac{x}{x+y}\cdot\frac{1}{AN}=\left(\frac{2x+y}{x+y}-\frac{x}{x+y}\right)\cdot\frac{1}{AN}=\frac{1}{AN}.
Следовательно,
\frac{1}{AP}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}.