5353. Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднее пропорциональное между его диагоналями.
Ответ. 30^{\circ}
Решение. Пусть острый угол при вершине A
ромба ABCD
равен \alpha
, диагонали AC
и BD
ромба пересекаются в точке O
и AB^{2}=AC\cdot BD
.
Опустим перпендикуляр BH
из вершины B
на сторону AD
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что BH=AB\sin\alpha
.
Выражая двумя способами площадь треугольника ABD
, получим, что
\frac{1}{2}BD\cdot AO=\frac{1}{2}AD\cdot BH,~BD\cdot AO=AD\cdot BH,~
BD\cdot\frac{1}{2}AC=AD\cdot AB\sin\alpha,~\frac{1}{2}BD\cdot AC=AB^{2}\sin\alpha,
а так как BD\cdot AC=AB^{2}
, то \sin\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно, \alpha=30^{\circ}
.