5354. В полуокружность с диаметром 2 вписаны две окружности, касающиеся между собой. Диаметр одной из них равен 1. Найдите диаметр второй окружности.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. См. задачу 365.
Решение. Диаметр первой окружности равен радиусу полуокружности, поэтому первая окружность касается диаметра AB
полуокружности в его середине O
— центре полуокружности.
Пусть x
— искомый радиус второй окружности, O_{1}
— центр второй окружности, C
и D
— точки касания второй окружности с полуокружностью и её диаметром AB
соответственно.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому OO_{1}=OC-O_{1}C=1-x
. Отрезок DO
общей касательной первой и второй окружностей найдём по формуле OD=2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2}}
(см. задачу 365). Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OO_{1}D
, получим уравнение x^{2}+2x=(1-x)^{2}
, из которого найдём, что x=\frac{1}{4}
. Следовательно, диаметр второй окружности равен \frac{1}{2}
.