5359. Три окружности, радиусы которых равны 1, 2 и 3, касаются попарно внешним образом. Найдите радиусы двух окружностей, каждая из которых касается трёх данных окружностей.
Ответ. 6 и \frac{6}{23}
Указание. Примените формулу Герона.
Решение. Пусть окружности с центрами A
, B
и C
радиусов 1, 2 и 3 соответственно касаются попарно внешним образом. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому
AB=1+2=3,~AC=1+3=4,~BC=2+3=5.
Значит, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
Пусть O
— центр окружности радиуса x
, касающейся трёх данных окружностей, p_{b}
и p_{c}
— полупериметры треугольников AOC
и AOB
соответственно, h_{b}
и h_{c}
— высоты этих треугольников, проведённые из общей вершины O
. Тогда
OA=x+1,~OB=x+2,~OC=x+3,~
p_{b}=\frac{x+1+x+3+4}{2}=x+4,~p_{c}=\frac{x+1+x+2+3}{2}=x+3.
По формуле Герона
S_{\triangle AOC}=\sqrt{(x+4)\cdot x\cdot1\cdot3}=\sqrt{3x(x+4)},
S_{\triangle AOB}=\sqrt{(x+3)\cdot x\cdot2\cdot1}=\sqrt{2x(x+3)},
значит,
h_{b}=\frac{2S_{\triangle AOC}}{AC}=\frac{2\sqrt{3x(x+4)}}{4}=\frac{\sqrt{3x(x+4)}}{2},~h_{c}=\frac{2S_{\triangle AOB}}{AB}=\frac{2\sqrt{2x(x+3)}}{3}.
Поскольку OA
— диагональ прямоугольника со сторонами, равными h_{b}
и h_{c}
,
OA^{2}=h_{b}^{2}+h_{c}^{2},~(x+1)^{2}=\left(\frac{\sqrt{3x(x+4)}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2\sqrt{2x(x+3)}}{3}\right)^{2}.
После очевидных упрощений получим уравнение
23x^{2}+132x-36=0.
Условию задачи удовлетворяет его положительный корень x=\frac{6}{23}
.
Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса y
, касающейся трёх данных окружностей. Тогда
O_{1}A=y-1,~O_{1}B=y-2,~O_{1}C=y-3.
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим уравнение
23y^{2}-132y-36=0,
из которого находим, что y=6
.