5360. На одной стороне данного угла с вершиной C
дана точка M
. Постройте на отрезке CM
точку A
, а на другой стороне точку B
, для которых MA=BC
и расстояние между точками A
и B
наикратчайшее.
Ответ. A
— середина отрезка CM
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть данный угол равен \gamma
, CM=a
и AM=BC=x
. По теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\gamma=(a-x)^{2}+x^{2}-2(a-x)x\cos\gamma=
=2(1+\cos\gamma)x^{2}-2ax(1+\cos\gamma)+a^{2}=2(1+\cos\gamma)(x^{2}-ax)+a^{2}=
=2(1+\cos\gamma)\left(x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}\right)-\frac{a^{2}}{2}(1+\cos\gamma)+a^{2}=
=2(1+\cos\gamma)\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{2}(1-\cos\gamma)\leqslant\frac{a^{2}}{2}(1-\cos\gamma),
причём равенство достигается в случае, когда x=\frac{a}{2}
.