5370. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что если AO\gt OC
и BO\gt OD
, то сумма площадей треугольников ABO
и CDO
больше суммы площадей треугольников BCO
и ADO
.
Решение. Первый способ. Обозначим AO=a
, BO=b
, OC=c
, OD=d
, \angle AOB=\alpha
. Тогда
S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AO\cdot BO\sin\alpha=\frac{1}{2}ab\sin\alpha,
S_{\triangle CDO}=\frac{1}{2}cd\sin\alpha,
S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}BO\cdot OC\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,
S_{\triangle ADO}=\frac{1}{2}ad\sin\alpha,
поэтому
S_{\triangle ABO}+S_{\triangle CDO}-S_{\triangle BCO}-S_{\triangle ADO}=
=\frac{1}{2}(ab+cd-bc-ad)\sin\alpha=\frac{1}{2}(a-c)(b-d)\sin\alpha\gt0,
так как a\gt c
, b\gt d
и \sin\alpha\gt0
. Следовательно,
S_{\triangle ABO}+S_{\triangle CDO}\gt S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ADO}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть C'
и D'
— точки, симметричные вершинам соответственно C
и D
относительно точки O
. Тогда C'
лежит на отрезке AO
, а D'
— на отрезке BO
, поэтому
S_{\triangle ADC'}=S_{\triangle AD'C'},~S_{\triangle ABD'}+S_{\triangle CBD'}.
Кроме того, диагонали CC'
и DD'
параллелограмма CDC'D'
разбивают его на четыре равновеликих треугольника. Следовательно,
S_{\triangle ABO}+S_{\triangle CDO}\gt S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ADO}.