5371. Точка пересечения высот делит одну из высот треугольника в отношении 2:1
, считая от вершины, а другую — пополам. Найдите тангенсы углов треугольника.
Ответ. 1, 2, 3.
Решение. Пусть высоты BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда \angle BHC_{1}=\angle CHB_{1}=\alpha
.
Положим BH=2x
, HB_{1}=x
, CH=HC_{1}=y
. Из прямоугольных треугольников CHB_{1}
и BHC_{1}
находим, что
\cos\alpha=\frac{HB_{1}}{CH}=\frac{x}{y},~\cos\alpha=\frac{HC_{1}}{BH}=\frac{y}{2x}.
Значит, \frac{x}{y}=\frac{y}{2x}
, откуда y=x\sqrt{2}
. Следовательно,
\cos\alpha=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},~\alpha=45^{\circ},~\tg\alpha=1.
Из равнобедренных прямоугольных треугольников CHB_{1}
и BHC_{1}
находим, что
CB_{1}=HB=x,~BC_{1}=HC_{1}=y.
Следовательно,
\tg\beta=\tg\angle CBC_{1}=\frac{CC_{1}}{BC_{1}}=\frac{2y}{y}=2,
\tg\gamma=\tg\angle BCB_{1}=\frac{BB_{1}}{CB_{1}}=\frac{3x}{x}=3.