5372. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка M
, причём AM:MB=1:2
. Известно, что \angle BAC=45^{\circ}
, \angle ABC=75^{\circ}
. Докажите, что \angle ACM=15^{\circ}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
подобен треугольнику CBM
.
Решение. Положим AM=x
, BM=2x
. По теореме синусов \frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}
, значит,
BC=\frac{AB\sin\angle BAC}{\sin\angle ACB}=\frac{3x\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{3x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=x\sqrt{6},
поэтому
\frac{BC}{BM}=\frac{x\sqrt{6}}{2x}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
В то же время,
\frac{AB}{BC}=\frac{3x}{x\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2},
значит, \frac{BC}{BM}=\frac{AB}{BC}
. Поэтому треугольник ABC
подобен треугольнику CBM
. Тогда \angle BCM=\angle BAC=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACM=\angle ACB-\angle BCM=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}.