5375. Точка F
— середина стороны BC
квадрата ABCD
. К отрезку DF
проведён перпендикуляр AE
. Найдите угол CEF
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Указание. Точки C
, F
, E
и середина стороны CD
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть луч AE
пересекает сторону CD
в точке M
. Прямоугольные треугольники ADM
и DCF
равны, поэтому
DM=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD.
Значит, M
— середина CD
, и CM=CF
. Следовательно, \angle CMF=45^{\circ}
.
Из точек C
и E
отрезок FM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром FM
. Вписанные в эту окружность углы CMF
и CEF
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle CEF=\angle CMF=45^{\circ}.