5377. В четырёхугольнике диагонали перпендикулярны. В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат?
Ответ. Нельзя.
Решение. Рассмотрим в окружности диаметр AC
и перпендикулярную ему хорду BD
, не проходящую через центр. Покажем, что четырёхугольник ABCD
удовлетворяет условию задачи. Для этого достаточно доказать, что в него можно вписать окружность. В окружности диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам, значит, в треугольнике BAD
высота является медианой и этот треугольник является равнобедренным, AB=AD
. Аналогично, CB=CD
. Суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
равны, следовательно, в него можно вписать окружность.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, школьный этап, задача 6, 10-11 класс