5378. Докажите, что если отрезки a
, b
и c
образуют треугольник, то отрезки \sqrt{a}
, \sqrt{b}
, \sqrt{c}
также образуют некоторый треугольник.
Решение. Достаточно доказать, что сумма каждых двух из отрезков \sqrt{a}
, \sqrt{b}
и \sqrt{c}
больше третьего. Докажем, что \sqrt{b}+\sqrt{c}\gt\sqrt{a}
.
Отрезки a
, b
и c
образуют треугольник, поэтому a\lt b+c
(см. задачу 4268). Тогда
a\lt b+c\lt b+c+2\sqrt{bc}=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}.
Следовательно, \sqrt{a}\lt\sqrt{b}+\sqrt{c}
. Аналогично \sqrt{b}\lt\sqrt{a}+\sqrt{c}
и \sqrt{c}\lt\sqrt{a}+\sqrt{b}
. Что и требовалось доказать.