5380. Докажите, что перпендикуляр, восставленный из середины отрезка, соединяющего основания двух высот треугольника, делит третью сторону этого треугольника на две равные части.
Указание. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром BC
.
Решение. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Серединный перпендикуляр к хорде B_{1}C_{1}
этой окружности проходит через её центр O
— середину диаметра BC
. Что и требовалось доказать.