5381. Вершина A
квадрата ABCD
расположена в центре квадрата MNPQ
, а сторона AB
отсекает третью часть стороны MN
. Найдите площадь общей части двух квадратов, если AB=MN=1
.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Указание. Прямые DA
и BA
разбивают квадрат на четыре равных четырёхугольника.
Решение. Прямые DA
и BA
проходят через центр квадрата MNPQ
, поэтому они разбивают квадрат на четыре равных четырёхугольника (достаточно рассмотреть поворот на 90^{\circ}
вокруг точки A
). Один из них и есть общая часть данных квадратов. Следовательно, площадь этой общей части равен четверти площади квадрата MNPQ
, т. е. \frac{1}{4}
.
Заметим, что результат не зависит ни от того, в каком отношении сторона AB
делит сторону MN
, ни от длины стороны квадрата ABCD
. Нужно только, чтобы AB\geqslant\frac{1}{2}MP
.
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 121, с. 34