5386. Внутри острого угла дана точка M
. Постройте на сторонах AB
и AC
точки X
и Y
так, чтобы периметр треугольника XMY
был бы минимальным.
Указание. Отобразите точку M
относительно сторон угла.
Решение. Пусть M_{1}
и M_{2}
— точки, симметричные точке M
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Тогда
\angle M_{1}AM_{2}=\angle MAM_{1}+\angle MAM_{2}=2\angle MAB+2\angle MAC=
=2(\angle MAB+\angle MAC)=2\angle MAC\lt2\cdot90^{\circ}=180^{\circ},
значит, отрезок M_{1}M_{2}
пересекает лучи AB
и AC
в некоторых точках X
и Y
соответственно. Докажем, что X
и Y
— искомые точки.
Действительно, если точки X_{1}
и Y_{1}
лежат на лучах AB
и AC
соответственно, то
MX_{1}=M_{1}X_{1},~MY_{1}=M_{2}Y_{1},~
MX_{1}+X_{1}Y_{1}+MY_{1}=M_{1}X_{1}+X_{1}Y_{1}+M_{2}Y_{1}\geqslant
\geqslant M_{1}M_{2}=M_{1}X+XY+YM_{2}=MX+XY+MY,
т. е. периметр треугольника X_{1}MY_{1}
не меньше периметра треугольника XMY
, причём равенство достигается в случае, когда X_{1}
совпадает с X
, а Y_{1}
— с Y
. Следовательно, из всех таких треугольников наименьший периметр имеет треугольник XMY
.