5388. На окружности даны точки A
, B
, M
и N
. Из точки M
проведены хорды MA_{1}
и MB_{1}
, перпендикулярные прямым NB
и NA
соответственно. Докажите, что AA_{1}\parallel BB_{1}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. По теореме об углах с соответственно перпендикулярными сторонами \angle ANB=\angle A_{1}MB_{1}
. По теореме о вписанных углах
\angle AA_{1}B=\angle ANB=\angle A_{1}MB_{1}=\angle A_{1}BB_{1},
значит, накрест лежащие углы при прямых AA_{1}
, BB_{1}
и секущей A_{1}B
равны. Следовательно, AA_{1}\parallel BB_{1}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого расположения точек A
, B
, M
и N
на окружности.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы:
\angle(AA_{1},~BB_{1})=\angle(AA_{1},~AB_{1})+\angle(AB_{1},~BB_{1})=\angle(MA_{1},~MB_{1})+\angle(AN,~BN),
\angle(MA_{1},~MB_{1})=\angle(BN,~AN)=-\angle(AN,~BN).