5390. Дан вписанный четырёхугольник. Докажите, что из всех вписанных в него четырёхугольников наименьший периметр имеет тот, вершины которого — проекции точки пересечения диагоналей данного четырёхугольника на его стороны.
Указание. Примените осевую симметрию.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке X
, а P
, Q
, R
и S
— проекции точки X
на стороны AB
, BC
, CD
и AD
соответственно.
Докажем, что если при симметрии относительно прямой AB
точка S
переходит в точку S_{1}
, то точки Q
, P
и S_{1}
лежат на одной прямой. Для этого достаточно доказать, что \angle APS=\angle BPQ
.
Из точек P
и S
отрезок AX
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AX
. Вписанные в эту окружность углы SPX
и SAX
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle SPX=\angle SAX=\angle DAC=\angle DBC.
Аналогично \angle QPX=\angle DBC
, значит, \angle SPX=\angle QPX
. Следовательно,
\angle APS=90^{\circ}-\angle SPX=90^{\circ}-\angle QPX=\angle BPQ.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для углов, которые образуют каждые две соседние стороны четырёхугольника PQRS
с соответствующими сторонами четырёхугольника ABCD
.
При симметрии относительно прямой AB
четырёхугольник ABCD
переходит в четырёхугольник ABC_{1}D_{1}
, а четырёхугольник PQRS
— в четырёхугольник PQ_{1}R_{1}S_{1}
. Тогда точка P
лежит на отрезке SQ_{1}
.
При симметрии относительно прямой BC_{1}
четырёхугольник ABC_{1}D_{1}
переходит в четырёхугольник A_{1}BC_{1}D_{2}
, а четырёхугольник PQ_{1}R_{1}S_{1}
— в четырёхугольник P_{1}Q_{1}R_{2}S_{2}
. Тогда точка Q_{1}
лежит на отрезке R_{2}P
.
Наконец, при симметрии относительно прямой C_{1}D_{2}
четырёхугольник A_{1}BC_{1}D_{2}
переходит в четырёхугольник A_{2}B_{1}C_{1}D_{2}
, а четырёхугольник P_{1}Q_{1}R_{2}S_{2}
— в четырёхугольник P_{2}Q_{2}R_{2}S_{3}
. Тогда точка R_{2}
лежит на отрезке S_{3}Q_{1}
.
Значит, точки S
, P
, Q_{1}
, R_{2}
и S_{3}
лежат на одной прямой и при этом
SS_{3}=SP+PQ_{1}+Q_{1}R_{2}+R_{2}S_{3}=SP+PQ+QR+RS,
т. е. периметр четырёхугольника PQRS
равен отрезку SS_{3}
. При этом A_{2}S_{3}=AS
, а накрест лежащие углы при прямых A_{2}S_{3}
, AS
и секущей SS_{3}
равны, поэтому A_{2}S_{3}\parallel AS
. Следовательно, четырёхугольник A_{2}ASS_{3}
— параллелограмм, сторона AA_{2}
которого равна периметру четырёхугольника PQRS
. Заметим, что ADA_{2}D_{2}
— также параллелограмм.
Если теперь проделать аналогичные построения для произвольного четырёхугольника KLMN
, вписанного в четырёхугольник ABCD
, то получим параллелограмм ADA_{2}D_{2}
и ломаную, соединяющую точки M
и M_{3}
, лежащие на сторонах AD
и A_{2}D_{2}
. При этом AMM_{3}A_{2}
— параллелограмм, а сумма звеньев ломаной равна периметру четырёхугольника KLMN
. Следовательно, периметр четырёхугольника KLMN
не меньше стороны AA_{2}
параллелограмма, равной периметру четырёхугольника PQRS
.