5394. Дана трапеция ABCD
с основанием AB
. Известно, что AD=BD=CD
и CD
есть среднее пропорциональное отрезков AB
и BC
. Найдите углы трапеции при вершинах A
и B
.
Ответ. 36^{\circ}
, 108^{\circ}
.
Указание. Составьте тригонометрическое уравнение относительно угла при вершине A
.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
, \angle BDC=\angle ABD=\angle BAD=\alpha
. Тогда AD=BD=CD=\sqrt{ab}
. Из равнобедренных треугольников ABD
и BDC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AB}{2AD}=\frac{a}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{b}},
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{2CD}=\frac{b}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}.
Значит, \sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha=\frac{1}{4}
. Домножив обе части этого равенства на 4\cos\frac{\alpha}{2}\ne0
, получим, что
4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha=\cos\frac{\alpha}{2},~2\sin\alpha\cos\alpha=\cos\frac{\alpha}{2},~
\sin2\alpha=\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right).
Поэтому либо 2\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
, откуда \alpha=36^{\circ}
, либо
2\alpha=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},
откуда \alpha=60^{\circ}
, что невозможно, так как тогда ABCD
— ромб. Следовательно,
\angle BAD=36^{\circ},~\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=36^{\circ}+72^{\circ}=108^{\circ}.