5395. Биссектриса AL
треугольника ABC
перпендикулярна медиане BM
. Докажите, что \angle ACB\leqslant30^{\circ}
. Найдите \angle ABC
, если \angle ACB=30^{\circ}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Обозначим AB=c
, \angle ACB=\gamma
, \angle ABC=\beta
.
В треугольнике ABM
биссектриса, проведённая из вершины A
, является высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, AM=AB
. Тогда AC=2AM=2AB=2c
. По теореме синусов \frac{\sin\gamma}{AB}=\frac{\sin\beta}{AC}
, поэтому
\sin\gamma=\frac{AB}{AC}\sin\beta=\frac{c}{2c}\sin\beta=\frac{1}{2}\sin\beta\leqslant\frac{1}{2}.
Против большей стороны треугольника лежит больший угол, поэтому \gamma\lt90^{\circ}
. Тогда из неравенства \sin\gamma\leqslant\frac{1}{2}
следует, что \gamma\leqslant30^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Если \gamma=30^{\circ}
, то
\sin\beta=\frac{AC}{AB}\sin\gamma=\frac{2c}{c}\sin\gamma=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Следовательно, \beta=90^{\circ}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 202, с. 33