5412. Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB
, CD
и EF
правильного шестиугольника ABCDEF
. Докажите, что треугольник и шестиугольник имеют общий центр.
Решение. Пусть вершины X
, Y
и Z
правильного треугольника XYZ
лежат на сторонах соответственно AB
, CD
и EF
правильного шестиугольника ABCDEF
. Достроим этот шестиугольник до правильного треугольника KLM
, продолжив стороны AB
, CD
и EF
до попарного пересечения (K
— точка пересечения прямых CD
и EF
, M
— прямых AB
и CD
).
Рассмотрим поворот вокруг центра O
правильного треугольника XYZ
на угол 120^{\circ}
, при котором вершина X
переходит в вершину Y
. При этом повороте прямая AB
переходит в прямую, параллельную CD
и проходящую через точку Y
, т. е. в прямую CD
. Значит, точка O
равноудалена от сторон LM
и KM
правильного треугольника KLM
. Аналогично точка O
равноудалена от сторон KM
и KL
этого треугольника, значит, O
— центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник KLM
. Следовательно, O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
.
Автор: Седракян Н. М.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XII, осенний тур, младшие классы, тренировочный вариант
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1990
Источник: Бугаенко В. О. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. — 2-е изд. — М.: ТЕИС, 1995. — № 6, с. 25