5417. В треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 120^{\circ}
, точка D
лежит на биссектрисе этого угла, и AD=AB+AC
. Докажите, что треугольник DBC
равносторонний.
Указание. Отметьте на отрезке AD
точку K
, для которой AK=AB
, и докажите равенство треугольников KBD
и ABC
.
Решение. Отметим на отрезке AD
точку K
, для которой AK=AB
. Тогда из условия задачи следует, что KD=AC
. Треугольник ABK
равносторонний, поскольку две его стороны равны, а один из углов равен 60^{\circ}
. Значит, треугольники ABC
и KBD
равны по двум сторонам (AB=KB
и KD=BC
) и углу между ними (\angle BAC=\angle BKD=120^{\circ}
). Значит, BC=BD
и \angle DBK=\angle CBA
. Тогда
\angle DBC=\angle DBK+\angle KBC=\angle CBA+\angle KBC=60^{\circ}.
Поэтому треугольник DBC
равнобедренный с углом 60^{\circ}
при вершине. Следовательно, он равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1997, 7-9 класс