5419. Восемь бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри всей области плоскости, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.
Ответ. 4\pi
.
Указание. Поскольку радиус каждой окружности равен 1, длина дуги, на которую опирается вписанный угол с радианной мерой \alpha
, равна 2\alpha
.
Решение. Обозначим точку пересечения окружностей через O
. Проведём отрезки из точки O
в вершины получившегося криволинейного многоугольника. Стороны многоугольника представляют собой дуги окружностей. По теореме о вписанном угле (см. задачу 1), величина каждой дуги равна удвоенному углу между отрезками, проведёнными из точки O
в её концы. В сумме все эти углы составляют 2\pi
, а так как радиус каждой окружности равен 1, то сумма длин всех дуг равна 4\pi
. Следовательно, искомый периметр равен 4\pi
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1998, 10-11 класс