5420. Из всякого ли выпуклого четырёхугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырёхугольника?
Ответ. Да.
Решение. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD
. Поскольку
\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ},
то либо \angle A+\angle B\gt180^{\circ}
, либо \angle C+\angle D\gt180^{\circ}
. Аналогично, либо \angle B+\angle C\gt180^{\circ}
, либо \angle D+\angle A\gt180^{\circ}
.
Пусть без ограничения общности \angle A+\angle B\gt180^{\circ}
и \angle B+\angle C\gt180^{\circ}
. Тогда рассмотрим параллелограмм с вершинами A
, B
, C
и сторонами AB
и BC
. Пусть E
— его четвёртая вершина. Тогда
\angle ABC+\angle BCE=180^{\circ}\lt\angle ABC+\angle BCD,
поэтому, \angle BCE\lt\angle BCD
. Значит, луч CE
проходит между сторонами угла BCD
. Аналогично
\angle ABC+\angle BAE=180^{\circ}\lt\angle ABC+\angle BAD,
поэтому, \angle BAE\lt\angle BAD
. Значит, луч AE
проходит между сторонами угла BAD
.
Отсюда следует, что точка E
лежит внутри каждого из углов BCD
и BAD
, а значит, принадлежит четырёхугольнику ABCD
. Следовательно, ABCE
— искомый параллелограмм.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1999, 8-9 класс