5422. Из точки M
, расположенной внутри четырёхугольника ABCD
, опущены перпендикуляры MX
, MY
, MZ
и MT
на стороны AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Точки X
, Y
, Z
и T
лежат на сторонах четырёхугольника. Известно, что AX\geqslant XB
, BY\geqslant YC
, CZ\geqslant ZD
, DT\geqslant TA
. Докажите, что около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность.
Решение. Пусть B_{1}
— точка, симметричная вершине B
относительно точки X
. Тогда X
лежит на отрезке AX
(так как XB_{1}=BX\leqslant AX
) и MX=MB
, а так как \angle AXM=180^{\circ}-\angle BXM\gt90^{\circ}
, то AM\geqslant XM=BM
.
Значит, из условия AX\geqslant XB
следует, что AM\geqslant MB
. Аналогично получаем, что BM\geqslant MC
, CM\geqslant MD
, DM\geqslant MA
.
Это возможно только в случае, когда все четыре неравенства обращаются в равенства. Тогда MA=MB=MC=MD
. Значит, M
— центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
. Отсюда следует утверждение задачи.