5424. Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так, что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий вам удалось добиться?
Ответ. 3 линии.
Решение. Пусть дана прямая a
и точка O
. Отметим на прямой a
две различные произвольные точки A
и B
. Проведём окружность с центром в точке B
радиуса AO
, и окружность с центром в точке O
радиуса AB
. Они пересекутся в некоторой точке X
. Тогда прямая OX
— искомая.
Действительно, четырёхугольник AOXB
— параллелограмм, так как его противолежащие стороны попарно равны.
Докажем теперь, что двумя линиями обойтись нельзя. Второй линией должна стать искомая прямая. Чтобы её провести, нужно получить вторую точку, находящуюся на том же расстоянии от прямой a
, что и точка O
. Но после проведения одной прямой все её точки, кроме точек пересечения с прямой a
, будут неразличимы, и найти вторую точку, находящуюся на нужном расстоянии от прямой a
, построив только одну линию, невозможно.