5425. Дан квадрат со стороной 1. Каждая его сторона разбита на три равные части. Через точки деления проведены отрезки (см. рисунок). Найдите площадь заштрихованного квадратика.
Ответ. \frac{1}{10}
.
Решение. Пусть сторона заштрихованного квадратика равна x
. Через каждую вершину данного квадрата проведём прямую, параллельную наклонному отрезку (см. рис.). Получим новый квадрат со стороной 4x
и площадью 16x^{2}
. Он составлен из данного квадрата и четырёх прямоугольных треугольников с катетами x
и 3x
. Сумма площадей этих треугольников равна 6x^{2}
. Значит, площадь данного квадрата равна 16x^{2}-6x^{2}=10x^{2}=1
. Отсюда находим, что x^{2}=\frac{1}{10}
.
