5431. Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле S=\frac{(a+c)(b+d)}{4}
, где a
, b
, c
, d
— длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.
Ответ. Формула верна для прямоугольников и только для них.
Решение. Раскроем скобки в «египетской» формуле. Получим
S=\frac{1}{4}(ab+ad+bc+cd).
С другой стороны, разрезав четырёхугольник на два треугольника по диагонали AC
и вычислив площади полученных треугольников, мы получим, что
S=\frac{1}{2}(ab\sin B+cd\sin D),
а разрезав по другой диагонали, —
S=\frac{1}{2}(ad\sin A+bc\sin C).
Тогда
2S=\frac{1}{2}(ab\sin B+cd\sin D+ad\sin A+bc\sin C),
S=\frac{1}{4}(ab\sin B+cd\sin D+ad\sin A+bc\sin C).
Приравняв этот результат и «египетский», получаем, что
\frac{1}{4}(ab+ad+bc+cd)=\frac{1}{4}(ab\sin B+ad\sin A+bc\sin C+cd\sin D).
Синус не больше единицы, поэтому равенство достигается только тогда, когда синусы всех четырёх углов равны 1. Поскольку углы выпуклого четырёхугольника находятся между 0^{\circ}
и 180^{\circ}
, получаем, что
\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ},
т. е. четырёхугольник является прямоугольником.
Примечание. 1. Заметим (это не входит в условие задачи), что и в том случае, когда четырёхугольник ABCD
невыпуклый, его площадь будет меньше, чем площадь соответствующего выпуклого четырёхугольника A'BCD
, у которого «невыпуклая часть» развёрнута наружу, и поэтому
S_{A'BCD}\lt S_{ABCD}\leqslant\frac{1}{4}(ac+ad+bc+bd).
Таким образом, пользуясь своей формулой в случае, когда четырёхугольник не является прямоугольником, египтяне всегда завышали значение площади (и для выпуклых и для невыпуклых четырёхугольников).
2. При решении этой задачи можно и не использовать понятие синуса. Действительно, рассмотрим треугольник, построенный на сторонах a
и b
. Пусть h
— высота, опущенная на сторону a
. Тогда h\leqslant b
, и площадь треугольника равна \frac{1}{2}ah\leqslant\frac{1}{2}ab
. Равенство выполнено в точности тогда, когда b=h
, т. е. когда угол между сторонами a
и b
прямой. Аналогичные соотношения верны для треугольников, построенных на других парах смежных сторон. Сложив их, получаем нужный результат.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2008, 10-11 класс